1 Définir une suite et vérifier son domaine

Définition. Une suite réelle est une fonction u:N→R. On note u_n=u(n) et (u_n)_n∈N la suite entière. Une suite peut aussi être définie seulement pour n≥n₀.

Exemples.

u_n=n² est définie pour n≥0 ; v_n=1/n est définie pour n≥1 ; w_n=√n est réelle pour n≥0. L’expression √-n ne définit pas une suite réelle sur tout N.

Une formule explicite donne directement le terme en fonction de n. Une récurrence donne un terme initial et une règle pour calculer les suivants.

Exemple de récurrence.

Si u₁=0 et u_n+1=1/(u_n+1), alors u₁=0,u₂=1,u₃=12,u₄=23,u₅=35.

Il faut remplacer u_n par le terme précédent, et non par le rang n.

Suites arithmétiques et géométriques

Une suite est arithmétique lorsque u_n+1–u_n=d est constant. Alors u_n=u_n0+(n-n₀)d. Elle est croissante si d≥0, décroissante si d≤0 et constante si d=0.

Exemples.

u_n=7n+2 a pour raison 7 ; v_n=ln(2ⁿ)=nln2 a pour raison ln2 ; w_n+1=w_n+1 donne une suite arithmétique de raison 1.

Une suite est géométrique lorsque u_n+1=qu_n, avec q constant. Alors u_n=u_n0q^n-n₀.

Exemple.

2^-n a pour raison 1/2 ; (-1)ⁿ a pour raison -1 ; 10^n-1 a pour raison 10. La suite 1-1/n n’est pas géométrique.

2 Monotonie et bornes

2.1. Monotonie

Une suite est croissante si u_n+1≥u_n pour tout rang de son domaine ; Elle est décroissante si u_n+1≤u_n.

Elle est monotone dans l’un de ces deux cas.

Méthode 1. Calculer u_n+1–u_n et déterminer son signe.

Exemple.

Pour u_n=1-1n+1

La suite est strictement croissante.

Méthode 2. Si u_n>0, comparer u_n+1u_n à 1. Un quotient supérieur à 1 donne une croissance stricte ; un quotient inférieur à 1 donne une décroissance stricte. La positivité est indispensable pour utiliser cette règle.

Contre-exemple.

Pour u_n=–2ⁿ, le quotient vaut 2>1, mais la suite est décroissante. Les termes sont négatifs.

Méthode 3. Si u_n=f(n) et si f est monotone sur l’intervalle considéré, alors la suite hérite de cette monotonie. Cette méthode ne remplace pas la vérification du domaine.

Exemple

Pour u_n=n²-4n+1, n≥1,

La suite décroît de u₁ à u₂, puis croît pour n≥2. Elle n’est pas monotone sur tout son domaine.

2.2. Majorée minorée bornée

Une suite est majorée s’il existe M∈R tel que u_n≤M pour tout n ; elle est minorée s’il existe m∈R tel que m≤u_n pour tout n. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, ce qui équivaut à

Exemples.

(-1)ⁿ est bornée entre -1 et 1, sans être monotone.

n est croissante et minorée, mais non majorée.

–n² est décroissante et majorée, mais non minorée.

Une suite monotone n’est donc pas nécessairement bornée.

2.3. Infimum supremum minimum maximum

Pour A={u_n:n≥n₀}, infA est le plus grand minorant et supA le plus petit majorant. Un minimum ou un maximum doit en plus être atteint par un terme.

Exemple

Si u_n=3nn+2 pour n≥1, alors u_n=3-6n+2 est strictement croissante. Le premier terme vaut 1 ; tous les termes sont strictement inférieurs à 3 et tendent vers 3. Donc

Pour vérifier que 3 est bien le plus petit majorant : tout nombre 3-δ avec δ>0 est dépassé dès que 6n+2<δ.

Exemples

Si u_n=2+(-1)ⁿ2ⁿ, n≥0, les termes d’indice pair sont compris entre 2 et 3, et ceux d’indice impair entre 3/2 et 2. Ainsi infA=minA=3/2, atteint en n=1, et supA=maxA=3, atteint en n=0.

Pour u₀=1, u_n+1= u_n3, on a u_n=(13)ⁿ. Donc supA=maxA=1 et infA=0, sans minimum.

3 Définition de convergence

Définition. La suite (u_n) converge vers l∈R si

On écrit u_n→l. À partir d’un certain rang, tous les termes appartiennent à l’intervalle l-ε,l+ε.

Exemples

Montrer que la suite u_n=1n, définie pour n≥1, converge vers 0.

Par définition, il faut montrer que, pour tout ε>0, il existe un entier N≥1 tel que

n≥N ⟹ |u_n-0|<ε.
Soit ε>0. On a
|u_n-0|=1n.

Pour rendre cette distance inférieure à ε, on cherche donc à avoir 1n<ε ⟺ n>1ε.

Par la propriété archimédienne on peut choisir un entier N>1ε, par exemple N=⌊1ε⌋+1.

Alors, pour tout n≥N,
|u_n-0|=1n≤1N<ε.

La définition de la convergence est donc vérifiée, et

Montrer que u_n=1-2nn+4 converge vers -2.

Soit ε>0. Pour n≥1,

|u_n–(-2)|=|1-2nn+4+2|=|1-2n+2(n+4)n+4|=9n+4≤9n.
Pour obtenir |u_n+2|<ε, il suffit donc d’avoir

9n<ε ⟺ n>9ε.
Par la propriété archimédienne, il existe un entier N>9ε , par exemple N=⌊9ε⌋+1. Alors, pour tout n≥N,

|u_n+2|=9n+4≤9n≤9N<ε.
La définition de la convergence est donc vérifiée :

Montrer que u_n=n³-12n³+1 converge vers 12.

Soit ε>0. Pour n≥1,

|u_n–12|=|2(n³-1)–(2n³+1)2(2n³+1)|=32(2n³+1)≤34n³.
Pour obtenir une distance inférieure à ε, il suffit d’avoir

34n³<ε ⟺ n>³√34ε.
Par la propriété archimédienne, on peut choisir un entier dépassant ce nombre. Un choix explicite est

N=⌊³√34ε⌋+1.
Alors, pour tout n≥N,

|u_n–12|≤34n³≤34N³<ε.
Par définition de la convergence,

Montrer que u_n=(-1)ⁿn^p, avec p>0, converge vers 0.

Soit ε>0. Pour n≥1, puisque |(-1)ⁿ|=1,
|u_n-0|=1n^p.

Comme p>0,

1n^p<ε ⟺ n^p>1ε ⟺ n>(1ε)^1/p.
Par la propriété archimédienne, il existe un entier dépassant ce nombre. On peut choisir

N=⌊(1ε)^1/p⌋+1.
Alors, pour tout n≥N,

|u_n|=1n^p≤1N^p<ε.
Par définition de la convergence,

limn→+∞(-1)ⁿn^p=0.
Négation de la définition

La suite (u_n) ne converge pas vers un réel donné l signifie

Il reste donc toujours des termes éloignés de l, même après un rang arbitrairement grand. Pour dire que la suite ne converge vers aucun réel, cette propriété doit être vraie pour tout l∈R.

Exemple

Pour u_n=(-1)ⁿ, les termes pairs valent 1 et les impairs -1. Quel que soit l, au moins l’une de ces deux valeurs est à distance au moins 1 de l. Il existe donc des termes arbitrairement éloignés du début tels que |u_n-l|≥1 : la suite ne converge pas.

4. Unicité de la limite et conséquences

Théorème. Une suite convergente possède une seule limite.

Preuve. Si u_n→a et u_n→b avec a≠b, prendre ε=|a-b|/3. Pour un rang assez grand,

ce qui est impossible.

Théorème.

Toute suite convergente est bornée.

Preuve. Soit (u_n)_n≥0 une suite convergeant vers l∈R.

Par définition de la convergence, en prenant ε=1, il existe un entier N≥1 tel que

n≥N ⟹ |u_n-l|<1.
L’inégalité triangulaire donne alors, pour tout n≥N,

|u_n|=|(u_n-l)+l|≤|u_n-l|+|l|<1+|l|.
Les termes à partir du rang Nsont donc bornés.

Il reste à considérer les premiers termes u₀,…,u_N-1. Ils sont en nombre fini, donc on peut poser

M=max{|u₀|,…,|u_N-1|, |l|+1}.
Pour n<N, on a |u_n|≤M par définition du maximum. Pour n≥N, on a également

|u_n|<|l|+1≤M.
Ainsi,

∀n≥0,  |u_n|≤M,
ce qui prouve que la suite est bornée.

Attention ! La réciproque est fausse. (-1)ⁿ est bornée mais divergente. Une suite convergente peut aussi être non monotone : (-1)ⁿ/n→0.

Théorème.

Toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite que la suite initiale.

Autrement dit, si u_n→l et si (n_k) est une suite strictement croissante d’entiers naturels, alors

u_nk⟶l  (k→+∞).
Conséquence. Si deux sous-suites d’une même suite convergent vers des limites différentes, alors la suite initiale ne converge pas.

Méthode — Montrer qu’une suite diverge à l’aide de sous-suites

Pour prouver qu’une suite diverge, on peut donc chercher deux sous-suites ayant des limites différentes.

Exemples

Une suite bornée mais divergente

Soit u_n=(-1)ⁿ. Les sous-suites de rang pair et impair vérifient

u_2k=1⟶1,  u_2k+1=-1⟶-1.
Elles convergent vers deux limites différentes. La suite (u_n) est donc divergente, bien qu’elle soit bornée.

Une suite positive et bornée, mais divergente

Soit u_n=2+(-1)ⁿ+1n+1.

Alors

u_2k=3+12k+1⟶3,  u_2k+1=1+12k+2⟶1.
Ainsi, (u_n) ne converge pas. La positivité et le caractère borné ne suffisent donc pas à garantir la convergence.

Attention — Deux sous-suites de même limite ne suffisent pas en général

Soit u_n={1,si n est un multiple de 3,0,sinon.
On a u_3k+1→0,  u_3k+2→0,
mais u_3k→1. La suite diverge donc malgré l’existence de deux sous-suites convergeant vers la même limite.

Cas particulier utile. Si les sous-suites (u_2k) et (u_2k+1) convergent toutes les deux vers l, alors u_n→l, car elles couvrent ensemble tous les termes de la suite.

Application trigonométrique.

Pour

u_n=sin(nπ2),
on choisit des indices donnant deux valeurs distinctes :

u_4k+1=1⟶1,  u_4k+3=-1⟶-1.
Les limites étant différentes, la suite est divergente.

5. Théorèmes de comparaison

Théorème des deux gendarmes

Soient (a_n), (u_n) et (b_n) trois suites réelles. Supposons qu’il existe un entier N₀ tel que

∀n≥N₀,  a_n≤u_n≤b_n.
Si les deux suites qui encadrent (u_n) convergent vers la même limite l, c’est-à-dire

a_n→l  et  b_n→l,
alors u_n→l.

Preuve. Soit ε>0

Comme a_n→l, il existe un entier N₁ tel que

n≥N₁ ⟹ |a_n-l|<ε.
En particulier,

a_n>l-ε.
De même, comme b_n→l, il existe un entier N₂ tel que

n≥N₂ ⟹ |b_n-l|<ε.
En particulier,

b_n<l+ε.
Posons

N=max{N₀,N₁,N₂}.
Pour tout n≥N, les trois conditions sont simultanément vérifiées. On obtient donc

l-ε<a_n≤u_n≤b_n<l+ε.
Ainsi,

l-ε<u_n<l+ε ⟺ |u_n-l|<ε.
La définition de la convergence est vérifiée, donc

limn→+∞u_n=l.
Version pratique. Si |u_n|≤v_n à partir d’un rang et v_n→0, alors u_n→0, car –v_n≤u_n≤v_n.

Exemples

|cos(√n)n|≤1n→0, donc cos(√n)n→0.

Pour u_n= sin(cos(n¹⁰⁰⁰))n+333, |u_n|≤1n+333→0.

Si 4-1n²+1≤u_n≤4-1n³+1, les deux bornes tendent vers 4, donc u_n→4.

Inégalités et limite

Soient (a_n) et (b_n) deux suites convergentes telles que

a_n⟶a  et  b_n⟶b.
Si, à partir d’un certain rang, a_n≤b_n, alors
a≤b.

Attention : une inégalité stricte entre les termes peut devenir une égalité à la limite. Si a_n<b_n à partir d’un certain rang, on peut seulement conclure que a≤b.

Exemple

Pour tout n≥1, 0<1n. Cependant, les deux membres tendent vers 0.

Si u_n>0 et u_n→l, on peut conclure seulement l≥0.

Produit d’une suite convergeant vers zéro par une suite bornée

Si a_n→0 et (b_n) est bornée, alors : a_nb_n→0.

En effet, si |b_n|≤C, alors |a_nb_n|≤C|a_n|→0.

Exemples

Prenons a_n=1n, pour n≥1. On obtient

–1n≤sinnn≤1n.
Comme les deux suites qui encadrent sinnn tendent vers 0,

limn→∞sinnn=0.
À retenir : il suffit que le facteur sinn soit borné ; sa convergence n’est pas nécessaire.

Calculons la limite de

u_n=ncos(n²)+(-1)ⁿ√nn²+1,  n≥1.
On écrit

u_n=nn²+1cos(n²)+√nn²+1(-1)ⁿ.
Chaque terme est le produit d’un facteur qui tend vers zéro par un facteur borné.

Étudier le premier terme.

Pour tout n≥1,

0≤nn²+1≤1n.
Comme 1/n→0, le théorème des gendarmes donne

nn²+1⟶0.
De plus, |cos(n²)|≤1. Par le théorème du produit d’une suite convergeant vers zéro par une suite bornée,

Étudier le second terme.

De même,

0≤√nn²+1≤√nn²=1n^3/2⟶0.
Puisque |(-1)ⁿ|=1, on en déduit

Les deux termes tendent vers zéro. Ainsi,

6. Opérations sur les limites

6.1 Opérations

Si a_n→a et b_n→b, alors

Pour t∈R fixé, ta_n→ta. Pour tout entier k≥2, a_n^k→a^k.

Si b≠0, alors b_n est non nul à partir d’un certain rang et a_nb_n→ab.

Le seul fait que chaque b_n soit non nul ne suffit pas : il faut une limite b≠0 pour appliquer directement cette formule.

6.2. Valeur absolue et racines fixes

En particulier,

Si a_n→a, alors |a_n|→|a|, car ||a_n|–|a||≤|a_n-a|.

Attention : La réciproque est fausse lorsque la limite de la valeur absolue est non nulle.

Exemples

|(-1)ⁿ|→1, mais (-1)ⁿ ne converge pas.

De même, a_n²→1 implique que (a_n) est bornée, sans garantir sa convergence.

Racines fixes

Si a_n≥0 et a_n→a, alors a≥0 et, pour un entier fixé k≥2,

Exemple : √2+1/n²→√2.

Attention : Les réciproques des opérations sont à vérifier

La convergence de a_n+b_n n’implique pas celle des deux suites. Pour a_n=n, b_n=-n, la somme est constamment nulle. La convergence du produit n’implique pas non plus celle des facteurs : a_n=b_n=(-1)ⁿ donne a_nb_n=1.

7. Divergence et limites infinies

Définition. u_n→+∞ si

De même, u_n→-∞ si,

Une limite infinie n’est pas une convergence dans R.

Définition. Une suite est divergente si elle ne converge vers aucun réel. Elle peut tendre vers +∞ou -∞, ou ne posséder aucune limite, même infinie.

Une suite peut aussi diverger en oscillant, sans tendre vers une limite infinie.

Attention : limn→+∞sinn n’existe pas,  limn→+∞cosn n’existe pas.

Exemples

(-1)ⁿ est divergente et bornée.

La suite (-1)ⁿn est divergente et non bornée, sans tendre vers +∞ ni vers -∞.

Théorème

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles.

Si u_n≥v_n et si v_n→+∞, alors u_n→+∞.

Si u_n≤v_n et si v_n→-∞, alors u_n→-∞.

Méthode. Pour montrer qu’une suite tend vers +∞, il suffit de la minorer par une suite qui tend vers +∞. Pour montrer qu’elle tend vers -∞, il suffit de la majorer par une suite qui tend vers -∞.

Exemples

Considérons la suite

u_n=n+cosnn,  n≥1.
Pour tout n≥1, on a cosn≥-1. Puisque n>0, on peut diviser cette inégalité par n:

cosnn≥-1n.
En ajoutant n aux deux membres, on obtient

u_n≥n-1n.
Or n→+∞et 1n→0, donc

n-1n⟶+∞.
Ainsi, (u_n) est minorée par une suite qui tend vers +∞. Par le théorème de comparaison,

limn→+∞(n+cosnn)=+∞.
Conséquences.

Si u_n→+∞, alors –u_n→-∞ et 1/u_n→0,

le quotient étant défini à partir d’un certain rang. Cela n’impose pas que (u_n) soit monotone.

Par exemple, u_n=n+2(-1)ⁿ tend vers +∞ mais n’est pas monotone.

Formes indéterminées

Les opérations sur les limites finies ne s’appliquent pas directement aux formes

∞-∞, 0⋅∞, 0/0 et ∞/∞

Il faut transformer l’expression.

Exemple

Considérons la suite
u_n=√n+2–√n.

Les deux termes tendent vers +∞. Leur différence présente donc une forme indéterminée.

Pour lever cette indétermination, on multiplie et on divise par l’expression conjuguée :

u_n=(√n+2–√n)(√n+2+√n)√n+2+√n.
À l’aide de l’identité (a-b)(a+b)=a²–b², on obtient

u_n=(n+2)-n√n+2+√n=2√n+2+√n.
Le numérateur est constant et le dénominateur tend vers +∞. Ainsi,

8. Limites de référence et méthodes de calcul

Proposition : Trois limites de référence

i) Si a > 1, alors x_n=aⁿ→+∞

ii) Si 0 < a < 1, alors x_n=ⁿ√a→1

iii) La suite x_n=ⁿ√n→1

Dans i) et ii), a est un réel fixé.

Puissances géométriques

Pour q>1, qⁿ→+∞ ;

pour |q|<1, qⁿ→0 ;

pour q=1, la suite vaut 1 ;

pour q=-1, elle oscille ;

pour q<-1, sa valeur absolue tend vers +∞, mais la suite ne possède pas de limite infinie.

Exemple

Soit a∈R. On considère la suite

u_n=(2a+1)ⁿ,  n≥1.
Déterminer les valeurs de a pour lesquelles la suite (u_n) converge vers un réel et préciser sa limite.

Solution.

La suite (u_n) est géométrique de raison

q=2a+1.On utilise les propriétés des suites géométriques en distinguant les valeurs de q.

Si -1<q<1, alors qⁿ→0.

Cette condition s’écrit

-1<2a+1<1 ⟺ -2<2a<0 ⟺ -1<a<0.
Ainsi, pour -1<a<0,

Si q=1, la suite est constante.

On a

2a+1=1 ⟺ a=0.
Dans ce cas, u_n=1 pour tout n, donc

limn→+∞u_n=1.
La valeur a=0est donc admise.

Si q=-1, la suite ne converge pas.

On a

2a+1=-1 ⟺ a=-1.
Dans ce cas,

u_n=(-1)ⁿ.
Les termes pairs valent 1, tandis que les termes impairs valent -1. Les deux sous-suites ont des limites différentes : la suite ne converge pas. La valeur a=-1 est donc exclue.

Quotients de polynômes

Diviser par la plus grande puissance de n présente dans le dénominateur, puis comparer les degrés.

Exemple.

Rationalisation des racines

Multiplier par l’expression conjuguée évite une soustraction de deux termes proches.

Exemple1

Exemple 2

Sinus et petits arguments

Utiliser |sint|≤|t| et la limite sintt→1 lorsque t→0.

Exemple

Calculer les limites suivantes, les angles étant exprimés en radians :

i) On sait que

1n⟶0.
La fonction sinus étant continue en 0, on obtient sin(1n)⟶sin0=0.

Ainsi, limn→+∞sin(1n)=0.

ii) Le facteur n tend vers +∞, tandis que sin(1/n) tend vers zéro. Le produit présente donc la forme indéterminée +∞⋅0.

Pour lever cette indétermination, on écrit

nsin(1n)=sin(1/n)1/n.
On utilise la limite fondamentale, les angles étant exprimés en radians :

limx→0sinxx=1.
Puisque 1/n→0 et 1/n≠0, on en déduit

On considère

Déterminer sa limite à l’aide de l’inégalité |sinx|≤|x|.

Pour tout réel x,

En prenant x=2n+3n³, qui est positif pour n≥1, on obtient

En simplifiant,

n2n+3n³=2n+3n²=2n+3n².
Ainsi,

0≤|u_n|≤2n+3n².
Utiliser le théorème des gendarmes.

On a

2n⟶0  et  3n²⟶0.
La borne supérieure tend donc vers zéro. Par le théorème des gendarmes,

|u_n|⟶0,
ce qui entraîne u_n→0. Finalement,

Limites exponentielles

Pour x∈R fixé, la base étant positive à partir d’un certain rang,

Exemples

Par ailleurs, (1-1n²)ⁿ→1,

Calculer la limite de la suite

u_n=(1-1n²)ⁿ,  n≥2.
Solution.

La base tend vers 1, tandis que l’exposant tend vers +∞. On rencontre donc la forme indéterminée 1^+∞.

Passer au logarithme.

Pour n≥2, on a 1-1n²>0), donc u_n>0. Son logarithme est ainsi défini et

Calculer la limite du logarithme.

On utilise la limite usuelle

limx→0ln(1+x)x=1.
Pour faire apparaître ce quotient, on écrit

lnu_n=n(–1n²)ln(1-1/n²)-1/n²=-1n ln(1-1/n²)-1/n².
Puisque -1/n²→0,

Comme -1/n→0, on obtient

Revenir à la suite initiale.

On a u_n=e^lnu_n. Par continuité de la fonction exponentielle,

u_n⟶e⁰=1.
Ainsi,

Autre méthode — Inégalité de Bernoulli.

L’inégalité (1+x)ⁿ≥1+nx, valable pour x≥-1 et n≥1,donne ici

(1-1n²)ⁿ≥1-1n.
De plus, la base appartient à ]0,1[, donc

1-1n≤(1-1n²)ⁿ≤1.
Les deux bornes tendent vers 1. Le théorème des gendarmes permet donc également de conclure que u_n→1.

Calculer la limite de la suite

9. Critère de d’Alembert (critère du quotient)

Proposition — Critère de d’Alembert (critère du quotient)

Soit (a_n) une suite réelle telle que a_n≠0 à partir d’un certain rang. Supposons que

limn→+∞|a_n+1a_n|=L.
Alors :

Si 0≤L<1, la suite converge vers zéro : a_n⟶0.

Si L>1, la valeur absolue des termes tend vers +∞ : |a_n|⟶+∞.
En particulier, si a_n>0 à partir d’un certain rang, alors a_n⟶+∞.
Sans condition sur le signe, on ne peut pas conclure que a_n→+∞.

Si L=1, le critère ne permet pas de conclure.

Proposition — Comparaison avec une suite géométrique

Soit (u_n) une suite réelle.

1. Supposons qu’il existe N∈Net μ∈]0,1[tels que

|u_n+1|≤μ|u_n|  pour tout n≥N. Alors u_n→0.

2. Supposons qu’il existe N∈N et μ>1 tels que

u_n>0 et u_n+1≥μu_n  pour tout n≥N. Alors u_n→+∞

Preuve

Cas 0<μ<1.

Supposons qu’il existe un rang N tel que

|u_n+1|≤μ|u_n|  pour tout n≥N.
En appliquant successivement cette inégalité, on obtient

|u_N+2|≤μ|u_N+1|≤μ²|u_N|.
Montrons par récurrence que, pour tout entier k≥0,

|u_N+k|≤|u_N|μ^k.
Pour k=0, l’inégalité est une égalité. Si elle est vraie au rang k, alors

|u_N+k+1|≤μ|u_N+k|≤μ|u_N|μ^k=|u_N|μ^k+1.
La propriété est donc vraie pour tout k≥0.

Puisque 0<μ<1, on a μ^k→0. Ainsi,

0≤|u_N+k|≤|u_N|μ^k⟶0.
Par le théorème des gendarmes,

Cas μ>1et termes positifs.

Supposons que, pour tout n≥N,

u_n>0  et  u_n+1≥μu_n.
Par le même raisonnement par récurrence,

u_N+k≥u_Nμ^k  pour tout k≥0.
Or u_N>0 et μ^k→+∞, donc

u_Nμ^k⟶+∞.
Par le théorème de comparaison,

Exemples

Pour u_n=2ⁿ/n!,

u_n+1u_n=2ⁿ⁺¹(n+1)!2ⁿn!=2n+1⟶0,
donc u_n→0. Plus généralement, pour a≠0 fixé,

donc aⁿ/n!→0. Pour a=0, la suite est nulle à partir du rang 1.

Calculer la limite de la suite u_n=2ⁿn!,  n≥1, à l’aide du critère de d’Alembert. Généraliser ensuite le résultat à la suite v_n=aⁿn!,  a∈R.
Solution.

Calculer le quotient de deux termes consécutifs.

Les termes u_n sont strictement positifs. On a

u_n+1u_n=2ⁿ⁺¹(n+1)!⋅n!2ⁿ.
en simplifiant

Appliquer le critère de d’Alembert.

Puisque n+1→+∞,

limn→+∞u_n+1u_n=limn→+∞2n+1=0<1.
Le critère de d’Alembert donne donc limn→+∞2ⁿn! = 0

Généraliser à une constante réelle a.

Si a≠0, les termes v_n sont non nuls et

|v_n+1v_n|=|aⁿ⁺¹(n+1)!⋅n!aⁿ|=|a|n+1.
Comme aest fixé, |a| est constant, donc

|a|n+1⟶0<1.
Par le même critère, v_n→0, y compris lorsque a<0.

Si a=0, on a directement v_n=0 pour tout n≥1.

Finalement, pour tout a∈R, limn→+∞aⁿn!=0.

Calculer la limite de la suite u_n=n²3ⁿ,  n≥1.
Solution.

On considère u_n=n²3ⁿ,  n≥1.
Les termes sont strictement positifs. Calculons le quotient :

u_n+1u_n=(n+1)²3ⁿ⁺¹⋅3ⁿn².
Οn simplifie :

u_n+1u_n=(n+1)²3n²=13(1+1n)^2.
Or 1/n→0, donc

limn→+∞u_n+1u_n=13<1.
Par le critère de d’Alembert, la suite converge vers zéro : limn→+∞n²3ⁿ=0.

10. Critère de la racine pour les suites

Soit (u_n) une suite réelle. Supposons que

Si 0≤L<1, alors u_n→0.

Si L>1,alors |u_n|→+∞. Si, de plus, les termes sont positifs à partir d’un certain rang, alors u_n→+∞.

Si L=1, le critère ne permet pas de conclure.

Exemple

Pour u_n=n²3ⁿ, on a

ⁿ√|u_n|=n^2/n3⟶13<1,
car n^2/n→1. Par le critère de la racine, limn→+∞n²3ⁿ=0.

Déterminer la limite de

u_n=(2n+15n+3)ⁿ.
On calcule la racine n-ième :

ⁿ√|u_n|=2n+15n+3=2+1n5+3n⟶25<1.
Par le critère de la racine pour les suites : u_n→ 0

11. Convergence des suites monotones

Théorème. Toute suite croissante et majorée converge vers le supremum de l’ensemble de ses termes. Toute suite décroissante et minorée converge vers l’ infimum de cet ensemble. Ainsi,

Toute suite monotone et bornée converge.

Preuve dans le cas croissant. Soit l=sup{u_n}. Pour tout ε>0, l-ε n’est pas un majorant, donc il existe N tel que l-ε<u_N. Par croissance, pour n≥N,

donc |u_n-l|<ε.

Une suite croissante non majorée tend vers +∞. Une suite décroissante non minorée tend vers -∞.

Exemples

On considère la suite

Montrer qu’elle est croissante et majorée, puis en déduire sa convergence et déterminer sa limite

Montrer que la suite est croissante.

Calculons la différence entre deux termes consécutifs :

u_n+1–u_n=(1-1n+2)–(1-1n+1).
En simplifiant puis en mettant au même dénominateur,

u_n+1–u_n=1n+1–1n+2=(n+2)–(n+1)(n+1)(n+2)=1(n+1)(n+2).
Cette quantité est strictement positive pour tout n≥0. Ainsi,

u_n+1>u_n,
donc la suite est strictement croissante.

Montrer que la suite est majorée.

Pour tout n≥0, on a 1n+1>0, donc u_n=1-1n+1<1.
Ainsi, 1 est un majorant de la suite.

En déduire la convergence.

Le théorème de convergence des suites monotones affirme que toute suite croissante et majorée converge vers un réel.

La suite (u_n) est croissante et majorée par 1 : elle est donc convergente.

Déterminer sa limite.

Puisque 1n+1⟶0, on obtient limn→+∞u_n=1-0=1.

Une suite décroissante n’est pas toujours convergente : u_n=-n diverge. La minoration est l’hypothèse manquante.

Toute suite négative et croissante converge : elle est majorée par zéro. Toute suite positive et décroissante converge : elle est minorée par zéro.

Somme de suites monotones. La somme de deux suites croissantes est croissante. La somme de deux suites monotones et bornées converge, mais n’est pas nécessairement monotone si leurs sens de variation sont opposés.

12. Suites récurrentes et preuve de convergence

Pour une récurrence u_n+1=f(u_n), suivre quatre étapes : vérifier le domaine ; établir une borne ou un intervalle stable ; démontrer la monotonie ; puis passer à la limite, lorsque f est continue au point considéré.

Résoudre l=f(l) fournit des candidats à la limite. Cela ne prouve pas que la suite converge.

Exemples

Soit u₁=1 et u_n+1=√1+u_n pour n≥1.

Domaine et positivité. Si u_n≥0, alors u_n+1 est défini et positif. Comme u₁=1, la suite est définie et positive à tous les rangs.

Majoration par récurrence. u₁<2. Si u_n<2, alors

Donc u_n<2 pour tout n.

Croissance par récurrence. u₂=√2>u₁. Si u_n+1≥u_n, la croissance de la racine donne

La suite est donc croissante et majorée : elle converge vers un réel l≥1.

Calcul de la limite. Par continuité de la racine,

Les solutions sont (1±√5)/2. Puisque l≥1, seule la racine positive convient :

Soit u₀=1 et u_n+1=(u_n-3)/2. Le point fixe vérifie l=(l-3)/2, donc l=-3. Pour obtenir une preuve, posons v_n=u_n+3. Alors

La suite est décroissante, minorée par -3 et converge vers -3. Le changement de variable permet ici d’obtenir directement la formule explicite.

On considère la suite définie par
u₀=√2,  u_n+1=√2u_n.

Pour déterminer sa limite, on montre qu’elle est croissante et majorée, puis on calcule sa limite.

Montrer que √2≤u_n≤2 pour tout n≥0

On raisonne par récurrence.

Initialisation : pour n=0, u₀=√2 donc

√2≤u₀≤2.
Hérédité : supposons que

√2≤u_n≤2.
Comme √2≥1, on a aussi

1≤u_n≤2.
En multipliant par 2, 2≤2u_n≤4.

La fonction racine carrée étant croissante sur [0,+∞[, on obtient √2≤√2u_n≤2. Or √2u_n=u_n+1, donc √2≤u_n+1≤2.

Par récurrence : ∀n≥0, √2≤u_n≤2.

Montrer que la suite est croissante

On veut prouver que u_n+1≥u_n.

Puisque les deux termes sont positifs, on peut comparer leurs carrés :

u_n+1≥u_n&⟺√2u_n≥u_n &⟺2u_n≥u_n²&⟺u_n(2-u_n)≥0.
D’après l’encadrement obtenu, u_n≥0  et  2-u_n≥0.

Leur produit est donc positif ou nul. Ainsi, u_n+1≥u_n et la suite est croissante.

Justifier l’existence d’une limite

La suite est croissante et majorée par 2. Par le théorème de convergence des suites monotones, elle converge vers une limite réelle l.

L’encadrement donne également √2≤l≤2.

Calculer la limite

Dans la relation

u_n+1=√2u_n,
on fait tendre n vers +∞. Comme u_n+1→l et que la racine carrée est continue,
l=√2l.

En élevant au carré,

l²=2l⟺l(l-2)=0.
Les deux possibilités sont donc

l=0  ou  l=2.
Mais l≥√2>0, ce qui exclut 0. Finalement,

On considère la suite définie par u₀=a∈R,  u_n+1=u_n^2.

On cherche sa limite en fonction de la valeur de a.

Calculer les premiers termes

En appliquant la relation de récurrence :

u₀=a, u₁=u₀²=a², u₂=u₁²=(a²)²=a⁴, u₃=u₂²=(a⁴)²=a^8.
Les exposants sont 1,2,4,8,…. On conjecture et on prouve par récurrence que

Pour n≥1, l’exposant 2ⁿ est pair, donc : u_n=|a|²ⁿ.

On peut ainsi étudier la limite à partir de |a|, même lorsque a<0.

Étudier le cas |a|<1

Si a=0, tous les termes sont nuls, donc u_n⟶0.

Si 0<|a|<1, on a ln|a|<0.

On écrit u_n=|a|²ⁿ=exp(2ⁿln|a|)  (n≥1).

Comme 2ⁿ→+∞ et que ln|a| est une constante négative,

2ⁿln|a|⟶-∞.
Par conséquent,

u_n=exp(2ⁿln|a|)⟶0.
Ainsi,

Étudier le cas |a|=1

Deux valeurs sont possibles : a=1 et a=-1

Pour a=1,

u₀=1, u₁=1, u₂=1, …
Donc

u_n⟶1.
Pour a=-1,

u₀=-1,  u₁=(-1)²=1.
Ensuite, le carré de 1 vaut toujours 1, donc

Ainsi,

u_n⟶1.
Le premier terme -1 ne change pas la limite : celle-ci dépend du comportement des termes lorsque n devient grand.

Étudier le cas |a|>1

Dans ce cas,

ln|a|>0.
Pour n≥1,

u_n=exp(2ⁿln|a|).
Comme 2ⁿ→+∞ et que ln|a| est une constante positive,

2ⁿln|a|⟶+∞.
Donc

u_n⟶+∞.
Cela reste vrai si a<-1, car tous les termes à partir de u₁=a² sont positifs.

Résultat :

Limite d’une suite définie par une récurrence affine

Soit (u_n) définie par

u_n+1=qu_n+b,  u₀∈R.
1. Cas q≠1.

Posons

l=b1-q.
La formule explicite est

Les propriétés des suites géométriques donnent alors :

2. Cas q=1.

La relation devient u_n+1=u_n+b. La suite est arithmétique :

u_n=u₀+nb.
Ainsi,

Exemple

Pour

on a q=12 et b=-32. Puisque |q|<1, la suite converge vers

l=-3/21-1/2=-3.
Donc limn→+∞u_n=-3.

1. Sous suites

1.1 Définition et indexation

Une sous-suite de (u_n) est une suite (u_nk) obtenue en choisissant une suite d’indices entiers strictement croissante :

Exemples d’indices.

Les choix n_k=2k, n_k=2k+1, n_k=k² et n_k=3k+2 donnent des sous-suites, pour des valeurs de k compatibles avec le premier indice de la suite.

Attention. Une suite composée de valeurs prises par (u_n) n’est pas automatiquement une sous-suite: il faut fournir des indices strictement croissants. Répéter indéfiniment le même indice n’est pas autorisé.

Exemple

Soit u_n=√n pour n≥0. Déterminons si les suites suivantes sont des sous-suites.

1.2 Limite d’une sous suite

Proposition. Si u_n→l, alors toute sous-suite (u_nk) converge vers l. La même propriété vaut pour une limite égale à +∞ ou à -∞.